阿基米德检验皇冠是否纯金的故事中，主要利用了 浮力原理（也称为阿基米德原理）和 密度计算。具体分析如下：

一、核心原理：浮力原理

阿基米德发现，当物体浸入液体中时，所受浮力等于其排开的液体重量。这一原理是整个实验的基础。他通过以下步骤应用该原理：

测量排开水的体积：

将皇冠完全浸入装满水的容器中，收集溢出的水并测量其体积。根据阿基米德原理，溢出水的体积等于皇冠的体积。

对比纯金体积：

取与皇冠等重的纯金块，重复上述步骤，测量其排开水的体积。由于纯金的密度已知（约19.32 g/cm³），可以通过质量除以密度计算出纯金的体积。

二、密度计算与结论

通过对比皇冠和纯金排开水的体积：

若两者体积相等，则皇冠为纯金；

若皇冠体积更大，则说明其密度小于纯金，可能掺有密度较小的金属（如银）。

实验结果显示，皇冠排开的水量比等重纯金多，表明皇冠的密度小于纯金，从而证实了皇冠掺有银子。

三、补充说明

历史意义：阿基米德通过这一方法，不仅解决了国王的难题，还奠定了流体静力学的基础，提出了“浮力定律”。

数学应用：结合密度公式 $\rho = \frac{M}{V}$（其中 $\rho$ 为密度，$M$ 为质量，$V$ 为体积），通过质量守恒（皇冠与纯金等重）推导出体积差异的结论。

综上，阿基米德利用浮力原理和密度计算，巧妙地鉴别了皇冠的材质，展现了古代科学家的智慧与创新精神。