罗素的理发师悖论是数学家伯特兰·罗素于1901年提出的经典悖论，通过理发师的自我指涉性揭示了集合论中的基本矛盾。其核心问题如下：

问题描述

在一个村庄里，只有一位理发师，他宣称只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子。那么，理发师是否给自己刮胡子？

悖论分析

假设理发师给自己刮胡子

- 根据他的宣称，他只给不给自己刮胡子的人刮胡子。

- 但如果他给自己刮胡子，他就属于“不给自己刮胡子的人”，按理他不应该给自己刮胡子。

- 这导致矛盾：他既给自己刮胡子，又不给自己刮胡子。

假设理发师不给自己刮胡子

- 根据他的宣称，他只给不给自己刮胡子的人刮胡子。

- 但如果他不给自己刮胡子，他就属于“不给自己刮胡子的人”，按理他应该给自己刮胡子。

- 这同样导致矛盾：他既不给自己刮胡子，又应该给自己刮胡子。

悖论的本质

理发师悖论的本质是自我指涉性引发的矛盾。它揭示了在定义集合时，如果允许集合包含自身或排除自身，会导致逻辑上的自相矛盾。

解决方案

罗素通过引入 内涵公理解决该悖论：

一个类的所有元素共同具有的、且该类元素所独有的性质，称为该类的 内涵。- 例如，集合S定义为“所有不属于自身的集合”，根据内涵公理，S不能包含自身，否则会导致矛盾。

意义与影响

罗素悖论是数学史上的重要事件，直接引发了第三次数学危机，推动了数学家对集合论基础的重新审视与完善。它也启发了后续数学逻辑和集合论的严格化发展。