华罗庚是中国现代数学的奠基人之一，他的主要发现和贡献涵盖数论、代数、几何等多个领域，以下是他的核心成就：

一、数论领域的突破

华氏定理

1940年提出，体的半自同构必是自同构、自同体或反同体。该定理在解析数论中具有里程碑意义，被国际数学界称为“华氏定理”。

华林和塔里问题改进

华罗庚对高斯关于华林和的问题及E.赖特关于塔里问题的结果进行了重大改进，其三角和研究成果被国际数学界誉为“华氏定理”。

Waring问题部分解

他证明了任一充分大的整数n均可表为[6n²logn]个素数方幂之和，这一结果被国际权威评价为“从整体来看是我们最好的结果”。

二、代数与几何领域的贡献

嘉当-布劳韦尔-华定理

证明了一维射影几何的基本定理，即体的正规子体一定包含在它的中心之中，被称为“嘉当-布饶尔-华定理”。

华-王方法

与王元共同提出多重积分近似计算方法，国际上称为“华—王方法”，对数学分析领域有重要影响。

三、应用与教育贡献

“华—王方法”的推广

将数学方法应用于生产实际，推动“优选法”“统筹法”等数学工具的普及。

数学人才培养

创办数学讨论班，提出“一条龙”教学方法，培养出王元、陈景润等一批数学人才，并倡导中学生数学竞赛，为中国数学事业储备后备力量。

四、其他重要成果

矩阵几何学与典型群：

在矩阵几何学和典型群领域也有突出贡献。

自守函数论与多复变函数论：推动相关理论的发展。

华罗庚的成就不仅体现在理论突破上，更在于他通过教育培养了大批数学人才，对中国乃至世界数学的发展产生了深远影响。