笛卡尔坐标系里描述桃心形状的公式主要有两种形式，分别基于极坐标系和直角坐标系：

一、极坐标系方程

基本方程

$$r = a(1 - \sin\theta)$$

其中，$r$ 表示极径，$\theta$ 表示极角，$a$ 为参数，控制心形的大小。

参数变化

- 当 $a$ 增大时，心形线扩大；

- 通过调整 $\theta$ 的范围（通常为 $0$ 到 $2\pi$），可完整绘制心形。

二、直角坐标系方程

标准形式

$$x^2 + (y - a)^2 = a^2(1 - \sin\theta)^2$$

通过极坐标与直角坐标的转换关系 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$ 推导得出。

简化形式

另一种常见表达式为：

$$x^2 + y^2 - ax = a\sqrt{x^2 + y^2}$$

或者

$$x^2 + y^2 + ax = a\sqrt{x^2 + y^2}$$

这两种形式等价，取决于参数 $a$ 的正负。

三、补充说明

参数 $a$ 的几何意义：

$a$ 表示心形线的半长轴长度，即从原点到心形顶点的距离。

应用领域：该公式在数学、物理、工程等领域有广泛应用，例如描述心脏瓣膜运动、电磁场分布等。

以上公式均源自数学史中笛卡尔为爱妻所绘的心形线，现成为数学教育中的经典案例。