“一筹莫展”是正确的写法，而“一愁莫展”是错误的写法。以下是具体解析：

一、正确写法解析

词语含义

“一筹莫展”指一点计策也施展不出，一点办法也想不出来，常用于形容遇到难题束手无策的状态。

字词解析

- 筹：

指计策、办法（如“筹划”“计谋”）。

- 展：指施展、实现。

成语出处

该成语出自《宋史·蔡幼学传》：“其极至于九重深拱而群臣尽废，多士盈庭而一筹不吐。”。

二、错误写法辨析

“一愁莫展”是现代人误写，属于形近字混淆：

“愁”字错误：

愁指忧愁、发愁，与“筹”的“筹划”无关。

语义偏差：若使用“愁”，则句意会变成“满腹忧愁却无法施展”，与原意相悖。

三、使用建议

规范书写：以《汉语大词典》《现代汉语词典》等权威工具书为准，采用“一筹莫展”。

常见误区：部分人因“筹”与“愁”同音，或误认为“展”与“愁”谐音而误写，需结合字义判断。

综上，正确答案为 一筹莫展，错误写法为 一愁莫展。