罗素悖论是20世纪初由数学家伯特兰·罗素提出的一个经典悖论，属于集合论中的自指型悖论。其核心问题涉及对“包含自身”的集合的逻辑矛盾，揭示了朴素集合论的缺陷，直接推动了数学基础理论的发展。

一、悖论的核心问题

罗素构造了一个集合$S$，其定义为：

$$S = \{ x \mid x \notin x \}$$

即$S$包含所有不包含自身的集合。然后他提出了关键问题：

$S$是否属于自身？

若$S \in S$，根据定义$S$不包含自身，矛盾；

若$S \notin S$，则根据定义$S$包含自身，同样矛盾。

这种自相矛盾的情况表明，基于朴素集合论的定义方式存在根本性缺陷。

二、悖论的背景与影响

提出时间与背景

罗素于1901年提出该悖论，旨在解决当时集合论中的矛盾，如康托尔集合论中的“全集悖论”。朴素集合论允许任意定义集合，但罗素悖论暴露了这种定义方式的不合理性。

数学危机的开端

该悖论成为第三次数学危机的核心问题，迫使数学家们重新审视集合论的基础，推动了公理化集合论的发展。

三、解决方案

为了解决罗素悖论，数学家们采用了以下方法：

内涵公理的引入

通过内涵公理限制类的定义，规定一个类由其元素所独有的性质确定，避免自相矛盾。例如，罗素悖论中的类$A$因缺乏明确内涵而引发矛盾，而内涵公理则要求类的定义具有唯一性。

类型论的构建

伯特兰·罗素本人提出类型论，将对象分为不同类型，禁止同一类型的元素属于同一类型，从而避免自指矛盾。

四、其他经典表述

罗素悖论的通俗表述包括“理发师悖论”：

一个理发师宣称只给不给自己理发的人理发，那么理发师是否给自己理发？

若理发师给自己理发，则违反定义；若不给自己理发，则根据定义必须给自己理发。

五、意义与启示

罗素悖论不仅揭示了数学逻辑中的自指问题，还推动了数学基础理论的完善。它表明，数学体系需要通过严格化公理和分类来避免矛盾，这一思想对20世纪数学分析、拓扑学等领域产生了深远影响。