“再接再厉”是正确的写法，而“再接再励”属于错误写法。以下是具体解析：

一、正确写法“再接再厉”的依据

典故来源

该成语出自唐代韩愈与孟郊的《斗鸡联句》：“大鸡昂然来，小鸡竦而待。一喷一醒然，再接再厉乃。”原指斗鸡前鸡相互磨砺喙部以增强战斗力，后引申为继续努力、再加把劲的比喻。

字形与字义

- “厉”为源字，通“砺”（磨刀石），保留了原指“磨砺”的含义。

- “励”为分化字，表“劝勉”，若用“励”则失去原指“自身努力”的含义。

权威规范

多数权威词典（如《第一批异形词整理表》）将“再接再厉”列为推荐使用词形，而“再接再励”被列为非推荐使用词形。

二、错误写法“再接再励”的问题

字义偏差：

若使用“励”，则成语变为“持续激励”，与原指“自身努力”的含义不符。

使用习惯：在正式书面语和成语词典中，“再接再厉”是固定用法，而“再接再励”几乎未见收录。

三、补充说明

成语结构：两者均为联合式成语，但“再接再厉”中“厉”与“接”动宾结构更紧密，符合汉语表达习惯。

误用场景：若需强调“持续激励”，可使用“再接再励”，但需注意该词已较少使用，且存在争议。

综上， “再接再厉”是正确写法，而“再接再励”为误写。建议以《第一批异形词整理表》及权威词典为准。